Numerische Simulation: Der Effekt von Tests & Isolierung

Das Standard-SIR-Modell lässt sich leicht erweitern (siehe unten), um zu berücksichtigen das ein Teil der Infizierten isoliert wird. Wie strikt isoliert wird, hat einen sehr deutlichen Effekt auf a) die Belastung des Gesundheitswesens und b) der schlussendlichen Infektionsrate. Hier einmal der Verlauf, wenn Tests & Isolierung nur ungenügend betrieben werden (z.B. das Verlassen auf Selbstisolierung). Grün sind die Nie-Infizierten, Rot die nicht-isolierten Infizierten und Blau die isolierten Infizierten.

Bei strengerer Isolierung der Infizierten ergibt sich, wieder beginnend mit den Werten H = 100, M = I = 10, der folgende Verlauf:

Die Belastung des Gesundheitwesens kann man an der maximalen Steigung der Kurven erkennen. Mit ungenügender Isolierung beträgt die Abnahme der Nie-Infizierten in den ersten fünf Zeiteinheiten etwa 15 Einheiten pro Zeiteinheit, während bei strengerer Isolierung dieser Wert auf 11 Einheiten pro Zeiteinheit abnimmt. In der Praxis kann das den Unterschied zwischen funktionierender Pflege und der Notwendigkeit von Triage ausmachen. Man sieht auch, dass bei ungenügender Isolierung ein Virus auch sehr schnell fast die gesamte Population durchläuft, während sich durch Isolierung ein klar von Null verschiedenes Plateau einstellen kann.

Das alles wird deutlicher, wenn man die Isolierung noch strenger verlaufen lässt. Hier statt 5 Tage von Infektion zu Isolierung (erster Graph) und 3 Tage von Infektion zu Isolierung (zweiter Graph) der Verlauf wenn die Isolierung im Mittel schon 1 Tag nach Infektion erfolgen würde:

Hier das modifizierte SIR-Modell:

H sind die Nie-Infizierten, M die nicht-isolierten Infizierten, I die isolierten Infizierten und R die Erholten (mit Immunität). d/dt sind die entsprechenden Änderungsraten mit der Zeit. Es wird eine Tödlichkeit von Null angenommen. Der Kehrwert von Beta gibt die mittlere Dauer von Infektion zu Isolierung, der Kehrwert von Gamma die mittlere Dauer der Infektion, der Kehrwert von Delta die mittlere Dauer in Isolierung. Es muss gelten: 1/Beta+1/Delta = 1/Gamma.

Analytisch lässt sich das System leider nicht lösen, es lässt sich aber zeigen dass unter der Annahme H = const. (gut erfüllt für sehr große Populationen in der Anfangszeit des Ausbruchs) das Verhältnis I/M, also die Anzahl der Isolierten pro Nicht-Isoliertem, für hohe M einen Grenzwert annimmt, der vor allem davon abhängt, wie intensiv getestet wird. Das macht natürlich Sinn, da erst das Testen eine effektive Isolierung ermöglicht.

Die Simulation durchführen kann man mit dem Cell Server von Sage Math. Habe ich erst gestern entdeckt, ist eine sehr tolle Sache für Leute die Mathe machen wollen, aber keine Ahnung von Programmierung haben (wie ich). So sieht der Code zum Einfügen aus:

sage: (H,M,I,t) = var(‘H,M,I,t’)
sage: des = [-0.01*M*H, (0.01*H-0.8-0.2)*M, 0.8*M-0.2*I]
sage: ans = desolve_system_rk4(des, [H,M,I], ics=[0,100,10,10], ivar=t, end_points=20)
sage: tH=[[a[0],a[1]] for a in ans]
sage: tM=[[a[0],a[2]] for a in ans]
sage: tI=[[a[0],a[3]] for a in ans]
sage: line(tH,color=’green’)+line(tM,color=’red’)+line(tI,color=’blue’)

Die Strenge der Isolierung kann man variieren, indem man die 0,8 (in beiden Gleichungen gleichermaßen) verändert. Hohe Werte bedeuten schnelle Isolierung, niedrige Werte langsame Isolierung. Die jeweiligen Anfangswerte der Populationen kann man durch die Zahlen hinter ics= steuern. Einfach reinkopieren, bei Bedarf verändern und Evaluate drücken! Der Graph wird automatisch erzeugt.

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