Faustformel zur Durchseuchung mit konstanter Rate

Nimmt man an, dass eine Population mit konstanter Rate (also einer gleichbleibenden Anzahl neuer Fälle pro Tag) durchseucht wird, dann lässt sich aus dem SEIR-Modell eine knappe und nützliche Faustformel für die maximale Anzahl neuer Fälle herleiten. Es gilt:

Maximale Rate = Betten-Kapazität / Dauer der Hospitalisierung

Wobei die Dauer der Hospitalisierung pro infizierter Person (und nicht etwa pro eingeliefertem Patient) berechnet wird. Solange die Durchseuchung mit dieser oder unterhalb dieser Rate erfolgt, wird das Gesundheitswesen der Pandemie standhalten. Schätzwerte für die Größen gebe ich unten an. Die Herleitung der Formel benötigt viel Schreibarbeit, folgt aber direkt aus nur zwei Annahmen:

  • Der Ausbruch erfolgt nach dem SEIR-Modell
  • Es gibt eine konstante Anzahl neuer Fälle pro Tag

Hier ist die Rechnung:

Die Differentialgleichung für E lässt sich durch Seperation der Variablen lösen, die Gleichung für I mit der Methode des integrierenden Faktors. Beide Lösungen genügen den Anfangsbedingungen E(0) = E0 und I(0) = I0. TE ist die Inkubationszeit, TI die symptomatische Zeit. Die Lösungen zeigen, dass nach einem kurzen Einschwingvorgang auch die Anzahl der Exponierten und Anzahl der Infizierten einen konstanten Wert einnehmen, auf dem sie bis zum Ende der Durchseuchung bleiben. Diese Grenzwerte sind wie folgt:

Anzahl Exponierte = Anzahl neuer Fälle pro Tag * Inkubationszeit

Anzahl Infizierte = Anzahl neuer Fälle pro Tag * Symptomatische Zeit

Letzteres unter der Annahme, dass E0 und I0 etwa Null sind. Behält man diese Annahmen bei und nimmt zur Vereinfachung noch TI >> 1 an, dann folgt die obige Formel. Welche Werte ergeben sich für Deutschland? Es gibt derzeit etwa 30.000 Betten mit Beatmungsmöglichkeit. Nehmen wir an, dass 20.000 davon für Covid-19-Patienten zur Verfügung stehen.

Bei der mittleren Dauer der Hospitalisierung ist es wichtig, auch jene miteinzubeziehen, die nicht ins Krankenhaus müssen. Mit einer Dunkelziffer von 1:5 von erfassten zu nicht-erfassten Fällen, folgt nach dieser Statistik, dass etwa 3 % aller Infizierten ins Krankenhaus müssen. Wir nehmen an, dass diese im Mittel dort 13 Tage verbleiben. Die mittlere Dauer der Hospitalisierung wäre also:

0.97 * 0 Tage + 0.03 * 13 Tage = 0,4 Tage pro infizierter Person

Damit folgt, dass das deutsche Gesundheitswesen etwa 50.000 neue Infektionen pro Tag abfangen könnte (1). Ohne Ausbau der Betten wäre das die maximale Rate, mit der die Bevölkerung durchseucht werden kann. Eine Durchseuchung von 42,5 Millionen Menschen (50 Millionen notwendig für Herdenschutz minus 15 % schon infiziert) wäre damit frühstens in 28 Monaten zu schaffen. Nimmt man jedoch an, dass die Anzahl verfügbarer Betten für Covid-19-Patienten auf 40.000 gesteigert werden kann, was machbar klingt, so würde sich dies auf 14 Monate reduzieren.

(1) Zum Vergleich: Laut Schätzung von Harald Lesch beträgt die Kapazität des deutschen Gesundheitswesens 40.000 neue Fälle pro Tag

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