Faltung: Was Echos und Pandemien gemeinsam haben

Echos, Todesfälle in Pandemien, aktive Kraftwerke und die Anlieferung radioaktiver Stoffe. All diese Dinge habe eine Sache gemeinsam: man berechnet sie auf exakt diesselbe Weise. Das Stichwort ist Faltung. Als ich vor kurzem auf Google nach Faltung gesucht habe, war ich überrascht davon dass scheinbar keine deutsche Webseite eine allgemein-verständliche Erklärung dafür liefert. Und das, obwohl es ein sehr spannendes und nützliches mathematisches Konzept ist. Ich möchte versuchen den Grundgedanken hinter der Faltung hier so zu erklären, dass man es auch ohne Vorwissen gut nachvollziehen kann.

Wie würde man ein Echo berechnen? Genauer gesagt werde ich hier von Hall sprechen: das Nachklingen von Tönen durch Reflektionen an Wänden und Gegenständen. Aber da im Volksmund Echo und Hall meistens synonym verwendet werden, bleibe ich trotzdem bei dem Begriff Echo.

Stellen wir uns vor, dass eine Person am Klavier sitzt und durch Drücken der Tasten Töne erzeugt. Die Höhe der Töne ist egal, es geht nur um die Lautstärke. Er startet eine Stoppuhr und erzeugt zur Zeit t = 1 s einen Ton, nochmal einen zur Zeit t = 2 s, wieder einen zur Zeit t = 3 s und einen letzten Ton zur Zeit t = 4 s. Die jeweiligen Lautstärken L sind:

  • t = 1 s — L = 40 dB
  • t = 2 s — L = 70 dB
  • t = 3 s — L = 90 dB
  • t = 4 s — L = 40 dB

Also leise, lauter, sehr laut und wieder leise. Gäbe es kein Nachklingen der Töne, etwa weil die Töne sofort durch die Wände verschluckt werden (wie z.B. in Tonstudios), dann wäre die Lautstärke zu Zeit t = 5 s gleich Null. In der Praxis wird die Lautstärke zu t = 5 s aber nicht Null sein, da alle Töne durch Reflektionen an Wänden und Gegenständen nachklingen. Aber wie berechnet man diesen Wert?

Der Grundgedanke: Je weiter ein Ton in der Vergangenheit liegt, desto weniger wird von ihm noch da sein. Von dem Ton, der zu t = 1 s erzeugt wurde, wird später weniger übrig sein als von dem Ton bei t = 4 s. Man muss also vor der Berechnung eine Verteilung bestimmen die sagt, wieviel von vergangenen Tönen jeweils übrig bleibt. Diese Verteilung nennt man die Impulsantwort und charakterisiert das Echoverhalten eines Raumes vollständig. Hier eine mögliche Impulsantwort. Von Tönen, die vor X Sekunden erzeugt wurden, bleibt noch der Anteil Y übrig:

  • X = 0 s — Y = 100 %
  • X = 1 s — Y = 50 %
  • X = 2 s — Y = 25 %
  • X = 3 s — Y = 12,5 %
  • X = 4 s — Y = 6,25 %

Jede Sekunde verschluckt der Raum also die Hälfte des verbleibenden Wertes. Sobald die Impulsantwort bekannt ist, kann man diese Impulsantwort (die Prozentwerte) mit dem Signal (die Lautstärken) falten. Wie laut ist das Echo zu t = 5 s?

  • 1 s vor t = 5 s wurde ein Ton mit Lautstärke 40 dB erzeugt. Laut Impulsantwort ist davon noch 50 % vorhanden, also 20 dB.
  • 2 s vor t = 5 s wurde ein Ton mit Lautstärke 90 dB erzeugt. Laut Impulsantwort ist davon noch 25 % vorhanden, also 22,5 dB.
  • 3 s vor t = 5 s wurde ein Ton mit Lautstärke 70 dB erzeugt. Laut Impulsantwort ist davon noch 12,5 % vorhanden, also 8,8 dB.
  • 4 s vor t = 5 s wurde ein Ton mit Lautstärke 40 dB erzeugt. Laut Impulsantwort ist davon noch 6,25 % vorhanden, also 2,5 dB.

Gegeben dieser Impulsantwort, beträgt die Lautstäke des Echos zu t = 5 s also 53,5 dB. Und zu t = 6 s?

  • 2 s vor t = 6 s wurde ein Ton mit Lautstärke 40 dB erzeugt. Laut Impulsantwort ist davon noch 25 % vorhanden, also 10 dB.
  • 3 s vor t = 6 s wurde ein Ton mit Lautstärke 90 dB erzeugt. Laut Impulsantwort ist davon noch 12,5 % vorhanden, also 11,3 dB.
  • 4 s vor t = 6 s wurde ein Ton mit Lautstärke 70 dB erzeugt. Laut Impulsantwort ist davon noch 6,25 % vorhanden, also 4,4 dB.
  • 5 s vor t = 6 s wurde ein Ton mit Lautstärke 40 dB erzeugt. Laut Impulsantwort ist davon noch 3,13 % vorhanden, also 1,3 dB.

Zu t = 6 s bleibt noch ein Echo von 27 dB. Man sieht, dass man so zu jedem Zeitpunkt (und das nicht nur für t > 4 s, sondern auch darunter) die Lautstärke des Echos berechnen kann. In der Praxis sind die Zeitschritte natürlich viel feiner unterteilt als in 1-Sekunden-Schritten. Dort sind es Millisekunden-Schritte. Aber das ist der einzige Unterschied. Die Berechnung funktioniert exakt so.

Wenn niemand zuhört, nenne ich die Faltung eine “gewichtete Vergangenheitssumme”. Ich denke das fasst am besten zusammen, was man hier macht. Man nimmt einen Signalwert aus der Vergangenheit und lässt ihn gewichtet mit einem Prozentwert in die Summe einfließen. Sowohl die Signalkurve als auch die Verteilung der Prozentwerte bleibt unverändert, also hängen nicht davon ab, zu welchem Zeitpunkt man das Echo auswertet. Was sich ändert ist nur, wie man die beiden kombiniert. Bei t = 5 s kombiniert man die Kurven etwas anders wie bei t = 6 s. Aber das Prinzip, die Signalkurve und die Impulsantwort bleiben immer gleich.

Man könnte meinen, dass ein Echo, das mathematisch erzeugt wurde sicherlich anders klingt als eine echte Aufnahme in einem Raum. Interessanterweise gibt es hier keinen Unterschied. Das berechnete Echo klingt weder schief noch künstlich, da die Impulsantwort, sofern sauber gemessen, alle Informationen zur Echobildung enthält. Es charakteristiert das Echoverhalten eines Raumes vollständig und kann jedem trockenen (unverhallten) Signal ohne Qualitätsverlust hinzugefügt werden.

Die Impulsantwort ist auch sehr einfach messbar. Man erzeugt einen normierten, knallartigen Ton (z.B. mittels einer Schreckschusspistole) und zeichnet das Echo auf. An der Kurve lässt sich leicht sehen, wieviel Prozent des Tones nach welcher Zeit noch übrig bleibt. Bis auf einen Faktor hat man die Impulsantwort also schon vor sich. Diese Verteilung kann man in einen Computer speisen und mittels Faltung jedem Signal hinzufügen, dem man dieses Echo geben möchte.

Was hat das mit Pandemien zu tun? Nehmen wir mal folgende Fallzahlen zu den jeweiligen Tagen an. Das wird unser Signal:

  • Tag 1 — 100 neue Fälle
  • Tag 2 — 200 neue Fälle
  • Tag 3 — 400 neue Fälle
  • Tag 4 — 800 neue Fälle
  • Tag 5 — 1600 neue Fälle

Zu der Tödlichkeit der Krankheit nehmen wir folgende (der Krankheit typische) Verteilung an. Von denen, die sich vor einer Zeit T angesteckt haben, sterben heute D Prozent. Das ist das Analog zur Impulsantwort.

  • T = 0 — D = 0 %
  • T = 1 — D = 0 %
  • T = 2 — D = 0 %
  • T = 3 — D = 0 %
  • T = 4 — D = 1 %
  • T = 5 — D = 2 %
  • T = 6 — D = 1 %
  • T = 7 — D = 0 %
  • T = 8 — D = 0 %

Also am gefährlichsten ist die Krankheit an Tag 5 nach der Ansteckung. 2 % der Menschen, die sich anstecken, sterben nach dieser Zeit an der Krankheit. Auch an Tag 4 und Tag 6 nach Ansteckung kann die Krankheit tödlich sein. Aber davor gibt es keine Todesfälle (Symptome haben sich noch nicht entwickelt) und danach auch nicht (Symptome klingen wieder ab). Wieviele Todesfälle sind an Tag 6 der Pandemie zu erwarten?

  • T = 1 Tag vor Tag 6 haben sich 1600 Leute infiziert. Von diesen sterben an diesem Tag 0 %, also 0 Menschen.
  • T = 2 Tage vor Tag 6 haben sich 800 Leute infiziert. Von diesen sterben an diesem Tag 0 %, also 0 Menschen.
  • T = 3 Tage vor Tag 6 haben sich 400 Leute infiziert. Von diesen sterben an diesem Tag 0 %, also 0 Menschen.
  • T = 4 Tage vor Tag 6 haben sich 200 Leute infiziert. Von diesen sterben an diesem Tag 1 %, also 2 Menschen.
  • T = 5 Tage vor Tag 6 haben sich 100 Leute infiziert. Von diesen sterben an diesem Tag 2 %, also 2 Menschen.

An Tag 6 der Pandemie muss man also 4 Todesfälle erwarten. Und an Tag 7? Wieder faltet man das Signal mit der Impulsantwort:

  • T = 2 Tage vor Tag 7 haben sich 1600 Leute infiziert. Von diesen sterben an diesem Tag 0 %, also 0 Menschen.
  • T = 3 Tage vor Tag 7 haben sich 800 Leute infiziert. Von diesen sterben an diesem Tag 0 %, also 0 Menschen.
  • T = 4 Tage vor Tag 7 haben sich 400 Leute infiziert. Von diesen sterben an diesem Tag 1 %, also 4 Menschen.
  • T = 5 Tage vor Tag 7 haben sich 200 Leute infiziert. Von diesen sterben an diesem Tag 2 %, also 4 Menschen.
  • T = 6 Tage vor Tag 7 haben sich 100 Leute infiziert. Von diesen sterben an diesem Tag 2 %, also 1 Mensch.

An Tag 7 der Pandemie wird man, unter Vorraussetzung des obigen Krankheitsverlaufs, mit 9 Todesfälle rechnen müssen. So lässt sich immer vorausberechnen, wieviel Todesfälle in einer Pandemie zu erwarten sind. Mehr als nur im übertragenen Sinne, sondern mathematisch wortwörtlich gesprochen, sind die Todesfälle das Echo der Fallzahlen.

Man kann es sich wieder als eine gewichtete Vergangenheitssumme denken: die vergangenen Fallzahlen fließen gewichtet mit den Prozentwerten des typischen Krankheitsverlaufs in die Summe ein. Das Prinzip, die Fallzahlen und der Krankheitsverlauf ändern sich bei der Berechnung späterer Zeitpunkte nicht. Sondern nur, wie man die Fallzahlen mit dem Krankheitsverlauf kombiniert.

Die Formel für Faltung sieht so aus:

Sie fasst knapp und elegant zusammen, was man oben macht. Das Zeichen nach dem Ist-Gleich-Symbol bedeutet Summe von i = 0 bis k. Beim Berechnen der Summe durchläuft der Parameter i alle Werte von 0 bis k:

= fp(0)*fq(k-0) + fp(1)*fq(k-1) + fp(2)*fq(k-2) + … + fp(k)*fq(k-k)

Das sind die obigen Rechenschritte: Signal fp mal Impulsantwort fq. Das k ist der Zeitpunkt der Auswertung, also die t = 5 s bzw. t = 6 s oder Tag = 6 bzw. Tag = 7. In die Summe fließen also alle Zeitpunkte bis dahin ein. Die Argumente, also die Zahlen in den Klammern, geben Auskunft darüber, welche Werte man genau kombiniert. Damit ist alles enthalten, was man (oder ein Computer) zur praktischen Berechnung benötigt.

Unabhängig davon, ob man es gewohnt ist Formeln zu lesen oder nicht, darf man nicht vergessen, dass diese Formel nicht mehr tut als den Ansatz zur Berechnung zusammenzufassen. Versteht man die obigen Beispiele, dann versteht man auch was Faltung ist, Formel hin oder her.

Es gibt Unmengen an Anwendungen für die Faltung. Hier einige Beispiele, die ich mir ausgedacht habe, ganz grob skizziert:

  • Kraftwerke eines Typus werden mit einer Anzahl über die Jahre in Betrieb genommen. Im Jahr 1 sind es N = 10 Stück, im Jahr 2 sind es N = 35 Stück, usw … Es gibt auch eine typische Betriebsdauer für Kraftwerke: Im Jahr 0 nach Einschaltung sind 100 % in Betrieb, in Jahr 1 nach Einschaltung 100 %, usw … Irgendwann geht das natürlich auf kleinere Prozentzahlen über. Faltet man die Anzahl neuer Kraftwerke mit der Verteilung der Betriebsdauer, kann man berechnen, wieviele aktive Kraftwerke es zu einem beliebigen Zeitpunkt gibt.
  • Radioaktive Stoffe werden mit einer bestimmten Menge über die Zeit angeliefert. An Tag 1 bekommt man m = 10 kg, an Tag 2 m = 8 kg, usw … Diese Stoffe zerfallen (zerstrahlen die Masse) aber gemäß einer Halbwertszeit. Am Tag 0 nach Anlieferung sind noch 100 % einer Lieferung vorhanden, am Tag 1 nach Anlieferung sind noch 50 % einer Lieferung vorhanden, usw … Das entspräche einer Halbwertszeit von einem Tag. Faltet man die angelieferten Mengen mit der Zerfallskurve, dann kann man berechnen, welche Menge des radioaktiven Stoffs zu einem beliebigen Zeitpunkt noch vorhanden ist.

Hat man das Prinzip einmal verinnerlicht, sieht man überall Prozesse, die nach dem Prinzip der Faltung funktionieren. Es ist ein weitverbreiteter Mechanismus in der Natur. Entsprechend ist es sehr schade, dass diese Methode nie Einzug in Schulen gefunden hat und auch außerhalb der Community der Mathematiker und Mathe-Nerds kaum bekannt ist.

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