Das mathematische Modell zum Coronavirus erklärt

In dieser Publikation vom 11. März 2020 findet sich ein mathematisches Modell, welches Forscher derzeit nutzen um die Ausbreitung des Coronaviruses zu analysieren und projezieren. Es ist eine erweiterte Variante des Standard-SIR-Modell, mit dem man schon lange Ausbrüche simuliert. Hier eine Erklärung, wie es funktioniert:

Die Population wird in die folgenden Gruppen unterteilt:

  • S = Susceptible = Empfängliche: Das sind die Menschen, die den Virus nicht haben, aber ihn durch Kontakt mit infizierten Menschen bekommen könnten. Also alle nicht-infizierten Menschen ohne Immunität. dS/dt ist die Änderungsrate der Empfänglichen S mit der Zeit
  • E = Exposed = Exponierte: Das sind jene, die schon infiziert sind, aber keine Symptome zeigen, entweder weil sie sich noch in der Inkubationszeit befinden oder weil bei ihnen die Krankheit generell ohne Symptome verläuft (asymptomatische Fälle). dE/dt ist die Änderungsrate von E mit der Zeit
  • I = Infected = Infizierte: Das sind die Menschen, die infiziert sind und auch Symptome zeigen. dI/dt ist die Änderungsrate von I mit der Zeit
  • R = Recovered = Genesene: Diese Variable sammelt alle Menschen, die sich infiziert hatten und nun wieder gesund sind. Das Modell nimmt Immunität an. dR/dt ist die Änderungsrate von R mit der Zeit

Jeder Mensch befindet sich zu jeder Zeit in einer der vier Gruppen. Zusätzlich gibt es noch die Variable V, die die Konzentration des Viruses in der Umwelt erfasst (Luft & Oberflächen). So funktioniert das Modell:

  • Die Zahl der Empfänglichen S nimmt durch Geburten und Migration zu (erster Term) und nimmt durch natürlich Tode ab (letzter Term)
  • Je größer die Anzahl der Empfänglichen S und Exponierten E, desto mehr Leute infizieren sich pro Zeiteinheit. Diese landen in der Gruppe der Exponierten E. Die Konstante Beta(E) gibt die Wahrscheinlichkeit für eine Infektion pro Kontakt an
  • Je größer die Anzahl der Empfänglichen S und Infizierten I, desto mehr Leute infizieren sich pro Zeiteinheit. Diese landen auch in der Gruppe der Exponierten E. Die Konstante Beta(I) gibt die Wahrscheinlichkeit für eine Infektion pro Kontakt an
  • Je größer die Anzahl der Empfänglichen S und Konzentration V in der Umwelt, desto mehr Leute infizieren sich pro Zeiteinheit. Diese landen ebenso in der Gruppe der Exponierten E. Die Konstante Beta(V) gibt die Wahrscheinlichkeit für eine Infektion pro Empfänglichem und Einheit Konzentration an

Das deckt alle Wege ab, wie sich die Anzahl der Empfänglichen ändern kann. Alle Veränderungen der letzten drei Punkten landen in der Gruppe der Exponierten E, also die frisch infizierten, die noch keine Symptome zeigen. Nach einer Inkubationszeit (Kehrwert der Konstante Alpha), landet jeder Exponierten E in der Gruppe der Infizierten I. Ausnahme: Jene, die in dieser Zeit eines natürlichen Tod sterben.

Die Anzahl Infizierter I reduziert sich:

  • Durch Genesung. Jene landen natürlich in der Gruppe der Genesenen R. Die Wahrscheinlichkeit pro Infiziertem dafür ist Gamma
  • Durch Tod infolge von Komplikationen, welche durch den Virus verursacht wurden. Die Wahrscheinlichkleit dafür ist w
  • Durch natürlichen Tod

Alle Genesenen landen also in der Gruppe der Genesenen R, welche sich nur durch natürlich Tod reduzieren kann. Hier wäre der Punkt, an dem man einen Term einbringen könnte, wollte man modellieren dass nicht alle Genesenen automatisch (und für alle Zeiten) immun sind. Das würde man tun, indem man in der Gleichung für R den Term -k*R einfügt, wobei 1/k die Durchschnittsdauer der Immunität ist, und bei der Gleichung für S entsprechend den Term +k*R, um sie dort wieder zu sammeln.

Die Annahme von Immunität dürfte aber akzeptabel sein. Zwar ergibt sich selten eine permanente Immunität bei Viren, aber meistens doch eine Immunität, die über Jahre reicht, während ein Ausbruch selbst nur einige Monate andauert. In dieser relativ kurzen Zeit eine permanente Immunität anzunehmen wird die Ergebnisse also kaum verzerren können.

Schlussendlich wird noch angenommen, dass der Konzentrationszuwachs linear mit der Anzahl der Exponierten E und Infizierten I steigt, aber die Konzentration bei sehr hohen Werten von E und I einem Grenzwert zustrebt (letzter Term).

Vor dem Fit haben die Forscher auch diese Annahmen gemacht:

Die Warscheinlichkeiten, dass sich jemand durch Kontakt infiziert, ob nun durch Kontakt mit einem Exponierten E, Infizierten I oder Kontakt mit dem Virus in der Umwelt (Konzentration V), sinken mit steigender Verbeitung des Viruses. Diese Abhängigkeiten modellieren, dass Menschen vorsichtiger werden, besser informiert sind und zunehmend durch Quarantänemaßnahmen eingeschränkt werden, je weiter verbreitet das Virus ist. Die mathematische Form der Annahme ist generisch, eine Näherung erster Ordnung welche zwar die Grenzbedingungen erfüllt, aber keine empirische Motivation hat.

In der Publikation ermitteln die Forscher noch den Gleichgewichtszustand. Das ist ziemlich einfach. Gleichgewicht heißt, dass sich die Werte aller Variablen nicht mehr mit der Zeit ändern, sondern bei einem konstanten Wert bleiben. Das heißt auch: Die Änderungsrate jeder Variable mit der Zeit ist dann Null. Man findet also das Gleichgewicht, indem man jede obige Gleichung gleich Null setzt.

Dann folgt noch viel Mathematik, die nur dazu dient zu untersuchen, ob dieses Gleichgewicht stabil oder labil, mit dem Schluss dass es stabil ist. Stabil heißt in diesem Kontext: Wird das System aus dem Gleichgewicht ausgelenkt, strebt es diesem wieder zu. Der Fit des Modells ist ziemlich gut und zeigt, dass sich …

  • circa 45 % durch Kontakt mit Exponierten infizieren
  • circa 20 % durch Kontakt mit Infizierten infizieren
  • circa 35 % durch über die Luft & Oberflächen infizieren

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