Berechnung verlorener Lebensjahre

In vielen Ländern liegt das mittlere Alter der Todesfälle infolge von Corona nur knapp unter der Lebenserwartung, in manchen Ländern liegt es sogar darüber. Das verleitet zur Annahme, dass jene Menschen, die an dem Virus gestorben sind, auch ohne Corona bald (innerhalb der nächsten Wochen / Monate) gestorben wären. Dagegen sprechen aber sehr klar zwei Dinge:

  1. Mathematik
  2. Abwesenheit des Harvesting Effect

Hier soll es um Nummer 1 gehen. In Deutschland beträgt die Lebenserwartung 82 Jahre. Vor diesem Hintergrund ist es interessant, sich folgende Frage zu stellen: Was ist die Lebenserwartung eines 90-Jährigen? Null Jahre? Minus 8 Jahre? Beides macht keinen Sinn. Glücklicherweise muss man nicht raten, sondern kann die gesuchte Antwort leicht ermitteln: Man kontaktiert einhundert 90-Jährige und verfolgt diese über die nächsten Jahre. Daraus lässt sich die durchschnittliche Lebenserwartung eines 90-Jährigen ermitteln. Und das Ergebnis ist natürlich weder Null noch kleiner als Null. Es stellt sich aber die Frage, wie diese Lebenserwartung sich mit mit der Angabe einer Lebenserwartung von 82 Jahre verträgt.

Dazu ein kleiner Umweg. Im Mittelalter war die Lebenserwartung um die 40 Jahre ab Geburt. Da es aber eine sehr hohe Säuglingssterblichkeit gab, hat sich diese Lebenserwartung sehr stark von der Lebenserwartung ab dem Alter 1 Jahr unterschieden. Ab Geburt 40 Jahre, aber wer das erste Jahr geschafft hatte, bei dem war die Lebenserwartung in der Umgebung von 60 Jahren. Es macht also wenig Sinn, von einer einzigen Lebenserwartung zu sprechen. Es gibt die Lebenserwartung ab Geburt, ab dem Alter 1, ab dem Alter 2 und entsprechend auch die Lebenserwartung ab dem Alter 90. Die 90-Jährigen sterben nicht plötzlich, nur weil sie die magische Grenze von 82 Jahre überschritten haben. Jeder 90-Jährige darf erwarten, eine gewisse Anzahl Jahre weiterzuleben.

Entsprechend ist es sinnlos, die Anzahl verlorener Lebensjahre durch Vergleich mit der Lebenserwartung ab Geburt zu berechnen. Was zählt, ist die Lebenserwartung ab dem Alter, in welchem die Person an Corona verstorben ist. Die Lebenserwartung eines 80-Jährigen in Deutschland beträgt 8 Jahre. Wenn also eine 80-jährige Person an Corona stirbt, dann sind ihm 8 Lebensjahre verloren gegangen, und nicht etwa 2 Jahre, wie man durch Vergleich mit der Lebenserwartung ab Geburt vermuten könnte.

Die genaue Berechnung funktioniert wie folgt: Sei T eine Zufallsvariable, die das Alter bei Eintritt des Todes ausdrückt, und f(t) die entsprechende Dichtefunktion. Die Wahrscheinlichkeit, vor dem Alter t zu sterben, ist dann F(t) = P(T < t) = int (0,t) f(t) dt, wobei int das Integral ausdrückt. Die Dichtefunktion f(t, T > t0) der Zufallsvariablen T unter der Annahme, dass T schon den Wert t0 erreicht hat, muss unterhalb von t0 den Wert Null haben und oberhalb davon ein Vielfaches von f(t) sein:

f(t, T > t0) = 0 für t < t0 und f(t, T > t0) = k*f(t) sonst

Da f(t, T > t0) eine Dichtefunktion ist, muss int (0,unendlich) f(t, T > t0) dt = 1 sein, also:

int (0,unendlich) f(t, T > t0) dt = int (t0,unendlich) k*f(t) dt = k*(1 – int (0,t0) f(t) dt) = k*(1 – F(t0)) = 1

Es ist also:

f(t, T > t0) = f(t) / (1 – F(t0)) für t > t0

Die Lebenserwartung ab dem Alter t0 ist dann:

E(T | T > t0) = int (t0,unendlich) t * f(t) / (1 – F(t0)) dt

Für die Gesamtanzahl verlorener Lebensjahre bekommt man die Summe:

G = sum (t0 = 0,unendlich) N(t0) * E(T | T > t0)

Wobei N(t0) die Anzahl Menschen sind, die im Alter t0 verstorben sind. Für die erfassten Todesfälle in Deutschland ergeben sich so 185.000 verlorene Lebensjahre bei 19.000 Todesfällen oder im Mittel:

  • 9,7 verlorene Lebensjahre pro Todesfall

Verwendet zur Berechnung wurde die Sterbetafel und der aktuelle Lagebericht des RKI (8.12.20). Diese Zahl ist offensichtlich sehr weit entfernt von der Annahme, dass die betroffenen Menschen auch ohne Corona bald gestorben wären. Tatsächlich hätten sie im Mittel noch 9-10 Jahre weitergelebt. Es ist sogar so, dass weniger als 1 % der Verstorbenen eine verbliebene Lebenserwartung unter 2 Jahre hatten. Der Mythos, dass diese Menschen sehr bald gestorben wären, reflektiert nur den zu saloppen Gebrauch des Begriffs Lebenserwartung im Allgemeinen.

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