Der Hohmann-Transfer ist die energetisch-günstigste Variante, eine Rakete von einem Planeten zu einem anderen Planeten zu bringen. Das Konzept birgt ein paar sehr interessante Hürden für das Verstehen, die sich vor allem daraus ergeben, dass man sowohl mit Geschwindigkeiten relativ zu einem Planeten wie auch mit Geschwindigkeiten relativ zur Sonne arbeiten muss. Achtet man aber genau darauf, diese Werte nicht zu vermischen, dann ergibt sich am Ende ein sehr schlüssiges Bild.

Erstmal die graphische Darstellung:

Die Ellipse von Erde zu Zielplanet im rechten Bild ist der Hohmann-Orbit. Diesen möchte man durch Beschleunigung der Rakete auf die Geschwindigkeit v(p) relativ zur Sonne einstellen. Anfangs befindet sich die Rakete in einem stabilen Orbit um die Erde, siehe den kleinen blauen Kreis im linken Bild. Auf diesem soll die Geschwindigkeit v(orb) relativ zur Erde betragen.

Ein erster wichtiger Punkt, und die kleinere von zwei Hürden, ist die Geschwindigkeit der Erde selbst, in dem Bild bezeichnet durch v(+). Die Geschwindigkeit auf dem Hohmann-Orbit v(p) ist die Summe der Geschwindigkeit des Planeten v(+) und der Geschwindigkeit v(∞), mit welcher die Rakete den gravitativen Einfluss der Erde verlässt. Entsprechend muss die Rakete den Einfluss der Erde nicht mit dem vollen Betrag der Geschwindigkeit für die Hohnmann-Bahn verlassen, sondern es reicht eine um die Geschwindigkeit des Planeten reduzierten Geschwindigkeit v(∞) = v(p)-v(+).

1) v(∞) = v(p) – v(+)

Man beachte die sorgfältige Formulierung: Die Rede ist von der Geschwindigkeit v(∞), mit welcher die Rakete den Einfluss der Erde verlässt. Angenommen man würde die Rakete, derzeit noch im Orbit um die Erde, in relativer kurzer Zeit auf diese Geschwindigkeit v(∞) beschleunigen. Die Rakete beginnt sich dank dieser Beschleunigung von der Erde zu entfernen, siehe die rote hyperbolische Bahn im linken Bild. Während die Rakete sich entfernt, reduziert sich die Geschwindigkeit aber noch etwas. Das ist ein wichtiger Punkt und die zweite konzeptionelle Hürde. Man würde somit den gravitativen Einfluss der Erde mit einer Geschwindigkeit unterhalb v(∞) verlassen (was man nicht möchte).

Um den Einfluss der Erde mit v(∞) zu verlassen, muss die Rakete im Orbit auf eine Geschwindigkeit oberhalb v(∞) beschleunigt werden. Bezeichnet man mit v(orb)’ die Geschwindigkeit der Rakete im Orbit nach dem Beschleunigungsvorgang, so muss also v(orb)’ > v(∞) gelten. Nur als konzeptionelle Hilfe soll die Reduktion der Geschwindigkeit beim Flug vom anfänglichen Orbit bis zum Verlassen des Einflusses der Erde mit v(red) bezeichnet werden. Es gilt dann:

2) v(orb)’ = v(∞) + v(red)

Vor dem Beschleunigungsvorgang hat die Rakete die orbitale Geschwindigkeit v(orb). Die notwendige Änderung der Geschwindigkeit ∆v (Delta-V), die man der Rakete beim Beschleunigungsvorgang im Orbit mitgeben muss, um schlussendlich in den Hohmann-Orbit zu kommen, ist also:

3) ∆v = v(orb)’ – v(orb)

Der konzeptionelle Teil des Transfers (bzw. der Einleitung des Transfers) ist damit geschafft. Um in den Hohmann-Orbit zu kommen, muss die Rakete den Einfluss der Erde mit der Geschwindigkeit v(∞) verlassen, welche der Geschwindigkeit auf dem Hohmann-Orbit v(p) minus der Erdgeschwindigkeit v(+) entspricht. Um diese Bedingung zu erreichen, muss man die Rakete im Orbit aber auf eine Geschwindigkeit v(orb)’ oberhalb dieser Zielgeschwindigkeit v(∞) beschleunigen. Und zwar genau soweit oberhalb, dass man am Ende mit v(∞) den interplanetaren Raum betritt. Die notwendige Änderung der Geschwindigkeit ∆v im Orbit ist v(orb)’ minus v(orb).

Die mathematische Behandlung ist relativ überschaubar. Man benötigt nur das Prinzip der Erhaltung der Energie, etwa ausgedrückt durch die Vis-Viva-Formel. Sei eine Rakete auf einem elliptischen Orbit um einen Körper der Masse M. Beim Durchlaufen des Orbits ändert sich wegen der elliptischen Form der Abstand der Rakete zum Körper ständig. Der geringste Abstand dabei sei rp (Periapsis), der größte Abstand ra (Apoapsis). Die orbitale Geschwindigkeit v der Rakete beim geringsten Abstand ist:

v² = 2*G*M*(ra/rp)/(ra+rp)

Daraus lässt sich schon mal ohne viel Mühe die Geschwindigkeit auf dem Hohmann-Orbit bestimmen. Der Hohmann-Orbit läuft um die Sonne, somit ist M = M(Sonne). Geht die Rakete von der Erde zu einem Planeten mit größerem Abstand zur Sonne, etwa Mars oder Jupiter, dann ist der geringste Abstand zur Sonne auf dem Hohmann-Orbit rp = R(Erde) = Abstand Sonne-Erde und der größte Abstand ra = R(Ziel) = Abstand Sonne-Zielplanet. Die Geschwindigkeit auf dem Hohmann-Orbit v(p) ist also:

v(p)² = 2*G*M(Sonne)*( R(Ziel)/R(Erde) ) / ( R(Ziel)+R(Erde) )

Daraus folgt für die Geschwindigkeit v(∞), mit welcher die Rakete den gravitativen Einfluss der Erde verlassen muss, die etwas sperrige Gleichung:

1) v(∞) = sqrt[ 2*G*M(Sonne)*( R(Ziel)/R(Erde) ) / ( R(Ziel)+R(Erde) ) ] – v(+)

Das sieht nicht schön aus, aber man erkennt, dass sich diese Geschwindigkeit aus nur wenigen Parametern ergibt, die allesamt gut bekannt sind: M(Sonne), R(Erde), R(Ziel) sowie v(+), was die Geschwindigkeit bezeichnet, mit der die Erde die Sonne umläuft.

Wie sind aber die beiden Geschwindigkeiten v(orb)’ und v(∞) miteinander verbunden? Auf welche Geschwindigkeit v(orb)’ muss man die Rakete im Orbit beschleunigen, damit sie mit v(∞) den Einfluss der Erde verlässt? Dazu reicht wieder ein Blick auf die Erhaltung der Energie:

(1/2)*m*v(orb)’² = (1/2)*m*v(∞)² + G*M(Erde)*m/R(orb)

2) v(orb)’ = sqrt( v(∞)² + 2*G*M(Erde)/R(Orbit) )

Mit R(Orbit) dem Radius des anfänglichen kreisförmigen Orbits der Rakete um die Erde und nun der Masse M(Erde) statt M(Sonne), da dieser Orbit um die Erde läuft. Fehlt noch die anfängliche orbitale Geschwindigkeit, um angeben zu können, um welchen Betrag ∆v = v(orb)’-v(orb) die Geschwindigkeit im Orbit erhöht werden muss, um in den Hohmann-Orbit zu kommen. Der Wert v(orb) lässt sich mit der Vis-Viva-Formel mit rp = ra = R(Orbit) und M = M(Erde) bestimmen:

v(orb)² = G*M(Erde)/R(Orbit)

∆v = v(orb)’ – sqrt( G*M(Erde)/R(Orbit) )

3) ∆v = v(orb)’ – sqrt( G*M(Erde)/R(Orbit) )

So lässt sich in drei Schritten aus gut bekannten Parametern das notwendige Delta-V zum Übergang in den Hohmann-Orbit (und somit dem Einleiten des Transfers zum Zielplaneten) bestimmen. Und ist das Delta-V erstmal bekannt, so lassen sich auch relativ leicht viele andere wichtige Parameter bestimmen. Zum Beispiel die benötigte Menge an Treibstoff, die direkt aus Tsiolkovsky’s Raketengleichung folgt. Angenommen das Triebwerk der Rakete stößt den Treibstoff mit der effektiven Geschwindigkeit v(eff) relativ zur Rakete aus. Die Menge an Treibstoff, die ausgestoßen werden muss, um eine Änderung der Geschwindigkeit ∆v zu erzielen, ist dann:

m(Treibstoff) = m(0) * ( e^∆v/v(eff) – 1 )

Mit der Anfangsmasse der Rakete m(0) = m(Trocken)+m(Treibstoff). Die effektive Geschwindigkeit v(eff) ist dabei etwas höher also die reale Geschwindigkeit v(real), mit welcher die Rakete den Treibstoff ausstößt. Das liegt daran, dass der Schub bei Raketen zwei Komponenten hat. Einmal die Änderung des Impulses, die sich durch das Ausstoßen des Treibstoffs nach hinten ergibt. Ein guter Vergleich zum Verständnis ist hierbei die Boot-Analogie. Befindet man sich auf einem kleinen Boot, ohne Paddel, aber dafür mit einem Sack Steinen, so kann man Steine nach hinten werfen, um eine Bewegung nach vorne zu erzielen. Zum Bremsen wirft man die Steine nach vorne. Nichts anderes macht eine Rakete, jedoch mit Gasteilchen statt Steinen.

Bei der Rakete kommt aber noch eine zusätzliche Kraft durch die Druckdifferenz hinzu. In der Düse des Triebwerks besteht ein Druck, welcher deutlich höher als der Druck vor der Rakete. Diese Differenz des Drucks ∆p erzeugt wirkend auf die Querschnittsfläche A der Rakete die Druckkraft F = ∆p*A. Der gesamte Schub der Rakete, mit r der Rate, mit welcher der Treibstoff ausgestoßen wird (in kg/s), ist also:

F = r*v(real) + ∆p*A

Um sich das Leben etwas einfacher zu machen, definiert man gerne die effektive Geschwindigkeit des austretenden Treibstoffs über r*v(eff) = r*v(real)+∆p*A oder v(eff) = v(real)+∆p*A/r und schreibt für den Schub dann schlicht F = r*v(eff). Ist dieser Wert nicht verfügbar, dann lässt er sich auch aus dem spezifischen Impuls des Triebwerks berechnen: v(eff) = g*Isp mit g der Erdbeschleunigung 9,81 m/s².

Der Übergang in den Hohmann-Orbit wird i.d.R. bei voller Schubkraft F(max) gemacht, woraus man bestimmen kann, mit welcher Rate r man den Treibstoff bei der Änderung der Geschwindigkeit um ∆v verbrennen muss und welche Zeit t die Änderung der Geschwindigkeit dauert:

r = F(max) / v(eff)

t = m(Treibstoff) / r = m(0) * ( e^∆v/v(eff) – 1 ) * F(max) / v(eff)

Soll der Übergang in den Hohmann-Orbit in einem einzigen Brennvorgang geschehen, dann muss gewährleistet sein, dass die orbitale Geschwindigkeit im Verhältnis zur maximalen Schubkraft nicht zu hoch ist. Idealerweise, zur Maximierung der Effizienz und Präzision, geschieht der gesamte Vorgang der Beschleunigung an einem einzigen Punkt P (siehe linkes Bild). Das ist in der Praxis nicht möglich. Da der Brennvorgang eine Zeit dauert, beginnt die Beschleunigung eine gewisse Zeit vor Erreichen von P und dauert eine gewisse Zeit über das Erreichen von P hinaus. Eine gute Effizienz bedeutet einen durchlaufenen Winkelbereich w deutlich kleiner als 360°.

Sei w(max) der größtakzeptable Winkelbereich, über welchen die Beschleunigung um ∆v laufen soll. Die Rakete hat während des Brennvorgangs grob die mittlere Geschwindigkeit v(m) = (v(orb)+v(orb)’)/2 = v(orb)+∆v/2, welche sich in eine Winkelgeschwindigkeit dw/dt = R(Orbit)*v(m) übersetzt. Der tatsächlich durchlaufene Winkelbereich ergibt sich somit aus dieser Gleichung:

w = R(Orbit) * (v(orb)+∆v/2) * t

w = R(Orbit) * (v(orb)+∆v/2) * v(eff) * m(Treibstoff) / F(max)

Damit erhält man für die Schubkraft die Ungleichung:

F(max) > R(Orbit) * (v(orb)+∆v/2) * v(eff) * m(0) * ( e^∆v/v(eff) – 1 ) / w(max)

Nur wenn die Schubkraft F(max) diesen Grenzwert überschreitet, ist der Übergang auf die Hohmann-Bahn innerhalb eines Umlaufs um die Erde möglich. Bei Werten darunter muss die Rakete während mehrerer Umläufe auf die hyperbolische Austrittsbahn gebracht werden. Das ist vor allem bei Ionen-Antrieben der Fall, da bei diesen die Effizient zwar sehr hoch ist, v(eff) um 40 km/s bzw. Isp um 4000 s, dieser Vorzug aber zum Preis einer sehr geringen Schubkraft erkauft wird, F(max) um 0,2 N. Gewöhnliche Liquid-Fuel-Antriebe hinken in Effizienz zwar deutlich hinterher, v(eff) um 4 km/s und Isp um 400 s, können aber eine millionfach-höhere Schubkraft erreichen, F(max) um 2.000.000 N.

Über die anfängliche Beschleunigung hinaus gedacht: Wie lange dauert es, bis die Rakete auf diesem Wege den Zielplaneten erreicht? Und welche Strecke legt sie auf dem Weg dahin zurück? Die erste Frage lässt sich gut beantworten. Die orbitale Periode ist nur eine Funktion der Sonnenmasse M(Sonne) und der großen Halbachse a der Ellipse, welche das arithmetische Mittel von Periapsis und Apoapsis ist. Es gilt also a = (rp+ra)/2 = (R(Erde)+R(Ziel))/2. Hier interessiert natürlich nur die Hälfte der Periode:

t (Erde->Ziel) = π*sqrt( (R(Erde)+R(Ziel))³ / (8*G*M(Sonne)) )

Die zurückgelegte Strecke ist schwieriger. Es gibt keine analytische Lösung für den Umfang U einer Ellipse. Aus der Näherung “Approximation 1” von dieser Seite lässt sich mit etwas Umformung herleiten, dass sofern die Ellipse nicht zu schmal ist, der Umfang der Ellipse in guter Näherung proportional zum geometrischen Mittel von Periapsis und Apoapsis ist. Genauer ist U ≈ 2*π*sqrt(rp*ra). Die Hälfte davon gibt eine Näherung für den auf der Hohmann-Bahn zurückgelegten Weg zum Ziel:

s (Erde->Ziel) ≈ π*sqrt(R(Erde)*R(Ziel))

Alles hier besprochene, insbesondere der berechnete Delta-V-Wert, bezieht sich rein auf den Übergang von einem Erdorbit auf die Hohmann-Bahn. Dieser Übergang ist natürlich nur die halbe Miete für den Transfer zum Zielplaneten. Einmal angekommen am Ziel, muss die Rakete wieder von der Hohmann-Bahn auf einen Orbit um den Zielplaneten gebremst werden (Insertion) und auch das erfordert ein gewisses Delta-V. Ohne diese Bremsung bleibt es bei einem Fly-By auf dem Hohmann-Orbit. Weitere Informationen zum Übergang (ab Seite 65) sowie eine detaillierte Besprechung der Insertion (ab Seite 71) findet man in diesen Präsentation-Slides, aus welchen auch das obige Bild entnommen wurde.