Bei einem klassischen Ponzi-Scheme wird den Investoren die Vervielfachung des investierten Geldes um den Faktor Γ > 1 innerhalb einer gewissen Zeit p versprochen. Frühe Investoren erhalten i.d.R. auch tatsächlich die versprochene Auszahlung, was den Ponzi-Scheme zu Beginn legitim erscheinen lässt und weitere Investoren anzieht. Was die Investoren jedoch nicht wissen: Eine Vermehrung des Geldes am Markt, ein weiteres Versprechen des Betreibers, findet nicht statt. Die frühen Investoren werden schlicht mit dem Geld neuer Investoren bezahlt. Das wird solange aufrecht erhalten, bis die Betrugsmasche entweder auffliegt, der Betreiber aufgrund nachlassender Anmeldungen Pleite geht oder dieser sich mit den noch nicht ausgezahlten Investitionsbeträgen davon macht (“Rug-Pull”).

Interessant ist der Blick darauf, welcher Anteil der Investoren ihre versprochene Auszahlung erhalten, wenn der Betreiber nach der Zeit t die verbliebenen Investitionen einbehält. Angenommen die Rate der Neuanmeldungen beträgt λ(t) Personen pro Zeiteinheit. Die Gesamtanzahl Personen, die bis zur Zeit t in den Ponzi-Scheme investiert haben, folgt aus:

Ein Anteil c wird nach Ablauf der Investitionsperiode p das Geld entnehmen, der verbliebene Anteil 1-c die gesamte Auszahlung reinvestieren. Die Anzahl ausgezahlter Personen ist demnach:

Für ein Fortdauern des Ponzi-Schemes muss λ(t) kontinuierlich wachsen. Mit dem exponentiellen Ansatz:

Ergibt sich für den Anteil Investoren q, welche die versprochene Auszahlung erhalten haben (also q = n/N):

Für t gegen unendlich nähert sich q(t) einem konstanten Wert:

Man sieht, dass der Anteil Investoren, die ihr Geld samt Vermehrung wieder erhalten, umso kleiner ist, je schneller der Ponzi-Scheme “explodiert” (große Wachstumsrate r) und je länger die Investitionsperiode p ist. Da die Wachstumsrate umgekehrt proportional zur Verdopplungsdauer d ist, es gilt r = ln(2)/d, kann man das Ergebnis auch so formulieren: Der Anteil erfolgreicher Investoren nimmt exponentiell mit dem Verhältnis Investitionsperiode zu Verdopplungsdauer p/d ab.

Das Kapital, das dem Betreiber zu Zeit t verbleibt, ist:

Wobei b der mittlere Investitionsbetrag pro Person ist. Es folgt für t gegen unendlich:

Das verfügbare Kapital wächst somit auch exponentiell. Interessant ist hier der Blick auf die Abhängigkeiten zwischen den Parametern. In der Praxis dürften λ0 (anfängliche Anmelderate) und r (Wachstumsrate) von den Rahmenbedingungen des Ponzi-Schemes abhängig sein. Je größer der Faktor der Vervielfachung Γ und je kleiner die Periode p dieser Vervielfachung, desto mehr “Hype” wird der Ponzi-Scheme generieren. Bei einem Ponzi-Scheme, der eine Verdreifachung des Geldes in zwei Wochen verspricht, wird die anfängliche Anmelderate und Wachstumsrate höher sein als bei einem, bei dem eine Verdopplung alle zehn Wochen erfolgen soll.

Nimmt man an, dass λ0 und r proportional zum Verhältnis Γ/p sind, also:

Dann folgt:

Man erkennt an dem Ausdruck in der Klammer, dass es ein Optimum für die versprochene Vervielfachung Γ geben muss, was auch intuitiv Sinn macht. Verspricht der Betreiber nur eine geringe Vervielfachung Γ, dann muss dieser zwar bei der Auszahlung an frühe Investoren nur wenig des Geldes neuer Investoren verwenden, generiert aber nur wenig Hype um den Ponzi-Scheme. Verspricht der Betreiber eine hohe Vervielfachung Γ, dann entsteht ein großer Ansturm und ein schnelles Wachstum, jedoch reduzieren die Auszahlungen an frühe Investoren das verfügbare Kapital erheblich. Es gibt also einen “Sweet Spot” für Γ.