Für verschiedenste Anwendungen ist es manchmal von Interesse, das Produkt von Zufallsvariablen zu berechnen. Also der folgende Ausdruck, wobei der Wert für jedes X_i derselben Dichtefunktion entnommen wird und die jeweiligen X_i unabhängig voneinander sein sollen, d.h. es soll cov(X_i , X_j) = 0 für alle i ≠ j gelten.

Der Weg zum Glück beginnt mit dieser Umformung:

Es wird also die Substitution L = ln(X) verwendet. Idealerweise kann man den Mittelwert und die Varianz von L exakt berechnen. In der Regel führt das aber zu analytisch unlösbaren Integralen. Ein cooler Trick ist hier der Rückgriff auf die Delta-Methode, mit der man schnell und einfach eine gute Schätzung für den Mittelwert und die Varianz einer transformierten Zufallsvariablen bekommt:

Für L = ln(X):

Für den Mittelwert und die Varianz der Summe S folgt dann:

Jetzt stellt sich die Frage nach der Verteilung von S. Der zentrale Grenzwertsatz sichert zu, dass die Verteilung von S für n gegen unendlich gegen die Normalverteilung mit den hier berechneten Parametern geht. Nimmt man entsprechend an, dass S in guter Näherung normalverteilt ist, dann folgt, dass Y lognormal ist:

Damit ergibt sich:

Noch etwas schöner wird das Resultat, wenn man statt des multiplikativen Faktors X die prozentuale Veränderung P als Zufallsvariable nimmt, also X = 1+P. Es lässt sich leicht folgendes zeigen:

Das ist eine schnelle und genaue Schätzung für den Mittelwert und die entsprechende Standardabweichung des Produktes Y gegeben Mittelwert und Standardabweichung der prozentualen Veränderung P je Schritt sowie die Anzahl Schritte n. Der Wert cv bezeichnet hier den Coefficient of Variation, das Verhältnis von Standardabweichung zu Mittelwert bei der prozentualen Veränderung.

Ein Beispiel: Bei jeder Gehaltserhöhung soll eine Person im Mittel eine Steigerung von mu_p = 0,15 = 15 % mit einer Standardabweichung sigma_p = 0,04 = 4 % erhalten. Nach n Gehaltserhöhungen beträgt das Gehalt, gegeben das Anfangsgehalt a, im Mittel also mu_y = a*exp(0,19*n) mit einer Standardabweichung von sigma_y = a*mu_y*sqrt(exp(0,016*n)-1). Das 95 % Konfidenzintervall für das Gehalt nach n Erhöhungen ergibt sich wie gewohnt aus y = mu_y ± 1,96*sigma_y. Nach drei Gehaltserhöhungen erhält man daraus zum Beispiel y = 1,77*a ± 0,76*a.