Das wissenschaftliche Interesse an Nahtod-Erfahrungen (Near-Death Experiences NDE) hat in den letzten zwei Jahrzehnten zugenommen, aber es bleibt ein Nischenthema mit einer überschaubaren Anzahl an empirischen Studien. Für Interessierte ist das enttäuschend, jedoch reicht die aktuelle Datenlage aus, um verlässliche Aussagen zur Prävalenz und den typischen Elementen einer NDE zu machen.

Beschränkt man die Suche auf Studien, welche a) eine validierte Skala zur Klassifizierung von NDE verwenden (WCEI, Greyson), b) nach 2000 veröffentlicht wurden, c) mehr als 20 Patienten untersuchen und d) ausschließlich Patienten mit tatsächlichem Herzstillstand betrachten, so lassen sich über Google Scholar die im Bild aufgeführten Studien finden. Die größte Studie analysiert 344 Patienten mit insgesamt 509 Wiederbelebungen, was schon einem beachtlichen Studienumfang mit hoher statistischer Aussagekraft entspricht. Daneben noch drei Studien mit einem kleineren, aber sehr ähnlichem Pool an Patienten und eine weitere Studie, welche spezifisch NDE bei geplantem Herzstillstand betrachtet.

Mit sehr hoher Sicherheit kann man die Prävalenz einer Nahtod-Erfahrung nach Herzstillstand und erfolgreicher Wiederbelebung im Bereich 15-25 % verorten. Bei einem geplanten hypothermischen Herzstillstand scheinen jedoch keine Nahtod-Erfahrungen aufzutreten. Eine umfassende korrelative Analyse findet man nur bei der niederländischen Studie, bei allen anderen Studien ist die Stichprobe zu klein um auf diese Weise schwache oder moderate Effekte zu identifizieren.

Das Gedächtnis scheint eine wichtige Rolle für das Berichten von NDE zu spielen. Patienten, bei denen nach einer Wiederbelebung ein geschädigtes Gedächtnis verbleibt, berichten seltener von NDE als jene mit intaktem Gedächtnis. Der einzige in einer zweiten Studie reproduzierte Effekt ist jener der vorherigen NDE. Patienten, die schon früher eine NDE gemacht haben, berichten eher von einer NDE als jene ohne eine solche Erfahrung. Das Alter ist scheint ebenso ein Faktor. Bei Patienten unter 60 Jahren sind NDE gängiger als bei Patienten über 60 Jahren. Die höchste statistische Signifikanz hat folgender überraschender Effekt: Patienten mit NDE haben eine höhere Wahrscheinlichkeit in den folgenden 30 Tagen zu versterben als jene ohne NDE. Es lohnt sich aber, all diese Effekte mit Vorsicht zu genießen bis sie durch eine Reproduktion bestätigt wurden.

Drei der Studien schlüsseln die NDE weiter auf:

Die größte Studie findet eine Verteilung nahe 50/50 bezüglich positiver und negativer Emotionen. In den beiden kleineren Studien überwiegen jedoch positive Emotionen klar. Die Wahrnehmung eines hellen Lichts scheint sehr typisch zu sein, bei grob 70 % aller NDE wurde das berichtet. Recht häufig, bei etwa 30 % aller NDE, wird von der Erfahrung eines Tunnels bzw. des Bewegens durch einen Tunnel berichtet.

Bei außerkörperlichen Erfahrungen zeigt sich eine große Diskrepanz der Anteile, 24 % bis 90 %, was sich jedoch durch die Definition erklären könnte. So berichtet in Schwanninger 2002 ein Anteil 90 % von einer außerkörperlichen Erfahrung, jedoch haben von diesen nur 20 % eine visuelle außerkörperliche Erfahrung (also eine, bei der sie ihren eigen Körper von außen sehen können). Je nachdem, ob man die außerkörperliche Erfahrung auf visuell-ähnliche Empfindungen begrenzt oder auch andere Formen einbezieht, wird man demnach deutlich verschiedene Anteile erhalten.

Einige Patienten berichten auch vom berühmten Lebensfilm, dem Abspielen von Erinnerungen in chronologischer Abfolge, jedoch scheint dieser bei der Mehrheit der NDE nicht aufzutreten. Die Prävalenz dürfte um 10 % liegen. Viel häufiger, bei 25-50 % aller NDE, ist die Erfahrung einer Begegnung mit einer verstorbenen Person, in der Regel ein naher Angehöriger. Es tritt bei NDE in manchen Fällen auch die Erfahrungen einer “Grenze zwischen Leben und Tod” bzw. das Erreichen eines “Point of no Return” auf. Eine Grenze also, die bei Überschreitung keine Rückkehr zulässt. Hier ist die Diskrepanz jedoch wieder sehr groß, eine verlässliche Aussage zur Prävalenz ist nicht möglich. Bei der größten Studie wurde auch das Bewusstsein des Todes erfasst. Die Hälfte der Patienten hat davon berichtet, dass sie sich während des Herzstillstands ihres eigenen Todes bewusst waren.

Es lohnt sich an diesem Punkt anzumerken, dass die Elemente einer NDE eine auffällige Ähnlichkeit zu den Erfahrungen nach dem Konsum des Dissoziativums Ketamin oder dem Konsum des Halluzinogens DMT zeigen. Gemäß dieser Studie aus Frontiers in Psychology kann DMT intravenös schon ab der relativ geringen Dosis 7 mg, grob ensprechend einer Dosis 15-20 mg geraucht, alle Elemente von NDE mit hoher Verlässlichkeit reproduzieren.

Bei einem klassischen Ponzi-Scheme wird den Investoren die Vervielfachung des investierten Geldes um den Faktor Γ > 1 innerhalb einer gewissen Zeit p versprochen. Frühe Investoren erhalten i.d.R. auch tatsächlich die versprochene Auszahlung, was den Ponzi-Scheme zu Beginn legitim erscheinen lässt und weitere Investoren anzieht. Was die Investoren jedoch nicht wissen: Eine Vermehrung des Geldes am Markt, ein weiteres Versprechen des Betreibers, findet nicht statt. Die frühen Investoren werden schlicht mit dem Geld neuer Investoren bezahlt. Das wird solange aufrecht erhalten, bis die Betrugsmasche entweder auffliegt, der Betreiber aufgrund nachlassender Anmeldungen Pleite geht oder dieser sich mit den noch nicht ausgezahlten Investitionsbeträgen davon macht (“Rug-Pull”).

Interessant ist der Blick darauf, welcher Anteil der Investoren ihre versprochene Auszahlung erhalten, wenn der Betreiber nach der Zeit t die verbliebenen Investitionen einbehält. Angenommen die Rate der Neuanmeldungen beträgt λ(t) Personen pro Zeiteinheit. Die Gesamtanzahl Personen, die bis zur Zeit t in den Ponzi-Scheme investiert haben, folgt aus:

Ein Anteil c wird nach Ablauf der Investitionsperiode p das Geld entnehmen, der verbliebene Anteil 1-c die gesamte Auszahlung reinvestieren. Die Anzahl ausgezahlter Personen ist demnach:

Für ein Fortdauern des Ponzi-Schemes muss λ(t) kontinuierlich wachsen. Mit dem exponentiellen Ansatz:

Ergibt sich für den Anteil Investoren q, welche die versprochene Auszahlung erhalten haben (also q = n/N):

Für t gegen unendlich nähert sich q(t) einem konstanten Wert:

Man sieht, dass der Anteil Investoren, die ihr Geld samt Vermehrung wieder erhalten, umso kleiner ist, je schneller der Ponzi-Scheme “explodiert” (große Wachstumsrate r) und je länger die Investitionsperiode p ist. Da die Wachstumsrate umgekehrt proportional zur Verdopplungsdauer d ist, es gilt r = ln(2)/d, kann man das Ergebnis auch so formulieren: Der Anteil erfolgreicher Investoren nimmt exponentiell mit dem Verhältnis Investitionsperiode zu Verdopplungsdauer p/d ab.

Das Kapital, das dem Betreiber zu Zeit t verbleibt, ist:

Wobei b der mittlere Investitionsbetrag pro Person ist. Es folgt für t gegen unendlich:

Das verfügbare Kapital wächst somit auch exponentiell. Interessant ist hier der Blick auf die Abhängigkeiten zwischen den Parametern. In der Praxis dürften λ0 (anfängliche Anmelderate) und r (Wachstumsrate) von den Rahmenbedingungen des Ponzi-Schemes abhängig sein. Je größer der Faktor der Vervielfachung Γ und je kleiner die Periode p dieser Vervielfachung, desto mehr “Hype” wird der Ponzi-Scheme generieren. Bei einem Ponzi-Scheme, der eine Verdreifachung des Geldes in zwei Wochen verspricht, wird die anfängliche Anmelderate und Wachstumsrate höher sein als bei einem, bei dem eine Verdopplung alle zehn Wochen erfolgen soll.

Nimmt man an, dass λ0 und r proportional zum Verhältnis Γ/p sind, also:

Dann folgt:

Man erkennt an dem Ausdruck in der Klammer, dass es ein Optimum für die versprochene Vervielfachung Γ geben muss, was auch intuitiv Sinn macht. Verspricht der Betreiber nur eine geringe Vervielfachung Γ, dann muss dieser zwar bei der Auszahlung an frühe Investoren nur wenig des Geldes neuer Investoren verwenden, generiert aber nur wenig Hype um den Ponzi-Scheme. Verspricht der Betreiber eine hohe Vervielfachung Γ, dann entsteht ein großer Ansturm und ein schnelles Wachstum, jedoch reduzieren die Auszahlungen an frühe Investoren das verfügbare Kapital erheblich. Es gibt also einen “Sweet Spot” für Γ.

Für verschiedenste Anwendungen ist es manchmal von Interesse, das Produkt von Zufallsvariablen zu berechnen. Also der folgende Ausdruck, wobei der Wert für jedes X_i derselben Dichtefunktion entnommen wird und die jeweiligen X_i unabhängig voneinander sein sollen, d.h. es soll cov(X_i , X_j) = 0 für alle i ≠ j gelten.

Der Weg zum Glück beginnt mit dieser Umformung:

Es wird also die Substitution L = ln(X) verwendet. Idealerweise kann man den Mittelwert und die Varianz von L exakt berechnen. In der Regel führt das aber zu analytisch unlösbaren Integralen. Ein cooler Trick ist hier der Rückgriff auf die Delta-Methode, mit der man schnell und einfach eine gute Schätzung für den Mittelwert und die Varianz einer transformierten Zufallsvariablen bekommt:

Für L = ln(X):

Für den Mittelwert und die Varianz der Summe S folgt dann:

Jetzt stellt sich die Frage nach der Verteilung von S. Der zentrale Grenzwertsatz sichert zu, dass die Verteilung von S für n gegen unendlich gegen die Normalverteilung mit den hier berechneten Parametern geht. Nimmt man entsprechend an, dass S in guter Näherung normalverteilt ist, dann folgt, dass Y lognormal ist:

Damit ergibt sich:

Noch etwas schöner wird das Resultat, wenn man statt des multiplikativen Faktors X die prozentuale Veränderung P als Zufallsvariable nimmt, also X = 1+P. Es lässt sich leicht folgendes zeigen:

Das ist eine schnelle und genaue Schätzung für den Mittelwert und die entsprechende Standardabweichung des Produktes Y gegeben Mittelwert und Standardabweichung der prozentualen Veränderung P je Schritt sowie die Anzahl Schritte n. Der Wert cv bezeichnet hier den Coefficient of Variation, das Verhältnis von Standardabweichung zu Mittelwert bei der prozentualen Veränderung.

Ein Beispiel: Bei jeder Gehaltserhöhung soll eine Person im Mittel eine Steigerung von mu_p = 0,15 = 15 % mit einer Standardabweichung sigma_p = 0,04 = 4 % erhalten. Nach n Gehaltserhöhungen beträgt das Gehalt, gegeben das Anfangsgehalt a, im Mittel also mu_y = a*exp(0,19*n) mit einer Standardabweichung von sigma_y = a*mu_y*sqrt(exp(0,016*n)-1). Das 95 % Konfidenzintervall für das Gehalt nach n Erhöhungen ergibt sich wie gewohnt aus y = mu_y ± 1,96*sigma_y. Nach drei Gehaltserhöhungen erhält man daraus zum Beispiel y = 1,77*a ± 0,76*a.