In diesem Youtube-Video über Suchtverhalten bei Computerspielen wird erwähnt, dass manche Hersteller bei der Monetisierung ihres Spiels eine “Bad Luck Protection” (Schutz vor schlechtem Glück) bieten. Hinter dieser Anmerkung steckt ein interessantes mathematisches Problem.

Bei vielen Spielen gibt es mittlerweile Microtransactions. Statt etwa lange nach einem bestimmten, wertvollen Gegenstand im Spiel zu suchen, kann man sich gegen echtes Geld eine virtuelle Lootbox kaufen und diese öffnen. Mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit w hat man Glück und die Box enthält den Gegenstand. Oder man geht leer aus und muss, sofern man den Gegenstand unbedingt möchte, eine weitere Lootbox kaufen. Im Mittel wird man e = 1/w solcher Boxen kaufen müssen bevor man den Gegenstand erhält. Bei w = 0,2 = 20 % also e = 1/0,2 = 5 Boxen. Das e steht für Erwartungswert. Natürlich könnte es schon beim ersten Mal enthalten sein. Oder erst beim zwanzigsten Mal.

Die “Bad Luck Protection” soll absichern, dass letzteres nicht passieren kann. So könnte der Code zum Beispiel garantieren, dass nach neun erfolglosen Versuchen der zehnte Versuch immer funktioniert. Diese Versicherung ist ein Eingriff in die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten und ändert entsprechend den Erwartungswert auf einen neuen Wert, der hier mit e’ bezeichnet wird.

Sei n die Anzahl Versuche bis Erfolg. n = 1 soll heißen, dass es beim ersten Versuch schon geklappt hat, n = 2 Erfolg beim zweiten Versuch, etc … Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Szenarios “Erfolg nach n Versuchen” sei p(n). Die entsprechende Verteilung dieser Wahrscheinlichkeiten nach Implementierung der Bad Luck Protection sei q(n). Die Bad Luck Protection soll Erfolg nach m Versuchen garantieren. Damit gilt für die Verteilung q(n):

• q(n) = p(n) für n < m
• q(m) = p(m)+p(m+1)+p(m+2)+…
• q(n) = 0 für n > m

Sei w die Wahrscheinlichkeit, dass die Lootbox den Gegenstand enthält. Es ist dann:

• p(1) = w
• p(2) = w*(1-w)
• p(3) = w*(1-w)^2
• …
• p(n) = w*(1-w)^(n-1)

Für den Erwartungswert folgt tatsächlich e = 1*p(1)+2*p(2)+3*p(3)+… = 1/w. Das lässt sich so zeigen. Mit der Abkürzung x = 1-w um sich das Leben etwas einfacher zu machen und mit Zuhilfenahme der Formel unter “Verwandte Summenformel 1” in diesem Wiki-Eintrag ergibt sich:

e = 1*p(1)+2*p(2)+3*p(3)+… = w*(1*1+2*x+3*x^2+…)

e = (w/x)*(1*x+2*x^2+3*x^3+…) = (w/x)*(x/(1-x)^2)

e = w/(1-x)^2 = w/w^2 = 1/w

Was ist der Erwartungswert nach Implementierung der Bad Luck Protection? Die Berechnung geht nach ähnlichem Prinzip, ist aber ziemlich aufwendig. Der Ansatz ist:

e’ = 1*q(1)+2*q(2)+…+(m-1)*q(m-1)+m*q(m)

e’ = (w/x)*(1*x+2*x^2+3*x^3+…+(m-1)*x^(m-1))+m*(p(m)+p(m+1)+…)

Nach sehr viel Algebra kommt man auf:

e’= e*(1-(1-w)^(m-1))

Der Erwartungswert reduziert sich durch die Garantie von Erfolg nach m Versuchen also um den Faktor 1-(1-w)^(m-1). Ein Beispiel: Sei die Wahrscheinlichkeit, dass die Lootbox den Gegenstand enthält, w = 0,1 = 10 %. Im Mittel benötigt ein Spieler e = 1/w = 10 Versuche, um den Gegenstand zu erhalten. Bei Garantie auf Erfolg nach maximal m = 20 Versuchen sinkt dieser Erwartungswert auf e’ = 8,6 Versuche. Selbst wenn man die Bad Luck Protection also recht spät ansetzt (nur sehr ungünstige Ausgänge ausschließt), zeigt sich schon ein nennenswerter Einfluss auf den Erwartungswert. Bei Garantie nach m = 15 Versuchen wäre der Erwartungswert e’ = 7,7 Versuche, bei m = 10 wäre e’ = 6,1 Versuche.

Dass Computerspiele mehr und mehr zu Glücksspiel-Automaten verkommen ist natürlich traurig. Vor allem großen Herstellern wie EA geht es vor allem darum, den Spielern mit solchen Mechaniken soviel Geld wie möglich aus der Tasche zu ziehen. Es kostet den Hersteller nichts, einen wichtigen Gegenstand im Spiel extrem selten zu machen. Dafür muss nur eine Zahl im Code geändert werden. So kann man die Spieler vor die Wahl setzen, endlos in der Spielewelt zu “grinden” oder diese Mühe mit dem Kauf einer Lootbox sofort zu beenden. Leider hat sich dieser manipulative Ansatz als sehr lukrativ erwiesen und wird in der Spieleindustrie mittlerweile breit eingesetzt.