In der Studie “Age-dependent immune response to the Biontech/Pfizer BNT162b2 COVID-19 vaccination” (Müller et al 2021) wird untersucht, ob die Teilnehmer nach einer vollständigen Impfung mit Biontech auch tatsächlich Antikörper im Blut tragen, die das Sars-Cov-2-Virus neutralisieren können. Interessant ist hier vor allem der Vergleich der Immunantwort bei verschiedenen Altersgruppen. Die Studie stellt fest, dass in der Gruppe junger Menschen (60 Jahre oder jünger) nur 7 von 91 Leuten oder knapp 7,7 % einen unzureichenden Impfschutz* mit auf den Weg bekommen. In der Gruppe älterer Menschen (80 Jahre oder älter) sind es hingegen 51 von 85 Menschen oder 60,0 %.

	Unzureichender Impfschutz	Größe der Stichprobe
Junge Menschen	7	91
Ältere Menschen	51	85

Zum Risk Ratio RR kommt man, indem man diese Prozentzahlen in intuitiver Weise weiter verarbeitet. Das Risiko junger Menschen, einen unzureichenden Schutz zu entwickeln, beträgt gemäß der obigen Studie 7,7 %. Das Risiko älterer Menschen beträgt 60 %. Das Risiko ist bei älteren Menschen also 60/7,7 = 7,8-Mal höher. Das Risk Ratio ist somit schlicht RR = 7,8. Es ist eine Kennzahl, die sehr einfach zu interpretieren ist. Sie drückt aus, um welchen Faktor das Risiko beim Vergleich zweier Gruppen erhöht bzw reduziert ist. Immer wenn man RR sieht, sollte man sich denken: “Das Risiko in Gruppe A ist RR-Mal so hoch wie in Gruppe B”. Statt Risiko darf man auch die Begriffe Wahrscheinlichkeit oder Prävalenz verwenden.

Das Odds Ratio ist im Vergleich dazu recht sperrig. Das liegt wohl daran, dass das Konzept von Odds (Chancen) im Alltag und der Schule viel seltener verwendet wird als das Konzept Wahrscheinlichkeit. Hier ein alternativer Weg das obige Ergebnis zu formulieren: Bei jungen Menschen gab es 7, die eine unzureichende Immunantwort hatten, und 84, die eine ausreichende Immunantwort hatten. Die Odds für eine unzureichende Immunantwort sind 7/84 = 0,083. Bei älteren Menschen gab es 51 mit unzureichender Immunantwort und 34 mit ausreichender Immunantwort. Die Odds sind hier 51/34 = 1,5. Das Odds Ratio ist entsprechend OR = 1.5/0.083 = 18,1.

	Unzureichender Impfschutz	Ausreichender Impfschutz
Junge Menschen	7	84
Ältere Menschen	51	34

Was gerne gemacht wird, ist das Odds Ratio zu nehmen und das Ergebnis wie beim Risk Ratio zu formulieren. Also von einem Odds Ratio 18,1 zu schließen, dass ältere Menschen ein 18,1-Mal höheres Risiko für unzureichenden Immunschutz haben wie junge Menschen. Findet man leider so in vielen Nachrichtenartikeln. Wie man an dem Beispiel sieht, kommt man dadurch aber auf den falschen Zweig. Das Risiko ist tatsächlich 7,8-fach erhöht. Korrekt wäre zu sagen, dass die Odds für unzureichenden Immunschutz bei älteren Menschen 18,1-fach erhöht sind (und dann erklären, was Odds überhaupt sein sollen). Wie gesagt, es ist eine recht sperrige Kennzahl.

Aber ganz unintuitiv sind Odds nicht. Die Odds 51/34 = 1,5 bedeuten, dass in der Gruppe älterer Menschen auf eine Person mit guter Immunantwort statistisch 1,5 mit schlechter Immunantwort kommen. Bevorzugt man ganze Zahlen kann man auch sagen, dass auf zwei Personen mit guter Immunantwort kommen drei mit schlechter kommen. Die Odds 7/84 = 0,083 bedeuten, dass bei jungen Menschen auf 12 Personen mit guter Immunantwort 1 Person mit schlechter kommt. Odds sind sehr eng verwandt mit Wahrscheinlichkeit, nehmen nur eine etwas andere Perspektive ein. Statt zu schauen, wie oft ein gewisser Ausgang im Bezug zur gesamten Bevölkerung auftritt, so wie es bei der Wahrscheinlichkeit gemacht wird, wird betrachtet, wie oft der Ausgang auftritt und wie oft nicht.

Ein für die meisten Leute weniger relevanter Vorteil des Odds Ratios gegenüber des Risk Ratio ist Umrechnung. Das Odds Ratio lässt sich sehr leicht und ohne zusätzliche Informationen in andere Effektstärken umwandeln. Es gibt eine Formel, um OR zu Cohen’s d oder Hedge’s g zu konvertieren. Eine Formel, um OR in den Korrelationskoeffizienten umzurechnen. Und die Umwandlung in Wirksamkeit ist auch schnell gemacht (Wirksamkeit gleich 1-OR). Das Risk Ratio nimmt rechnerisch hingegen einen eigenen Raum ein. Es lässt sich nur mit zusätzlichen Informationen umrechnen.

Wie genau? Gegeben sind u Menschen mit unzureichendem Immunschutz unter n jungen Leuten und u’ Menschen mit ebensolchem Immunschutz unter n’ älteren Leuten. Die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten sind p = u/n bei jungen und p’ = u’/n’ bei älteren Menschen. Das Risk Ratio entsprechend RR = (u’/n’)/(u/n). Wir könnten die Situation auch so formulieren: Es gibt bei jungen Menschen u mit unzureichendem und n-u mit ausreichendem Schutz. Unter alten Leuten sind es u’ und n’-u’. Das Odds Ratio ist OR = (u’/(n’-u’))/(u/(n-u)). Sieht nicht schön aus, aber stimmt. Teilt man die Formel für RR durch OR und formt etwas um, dann erhält man:

RR = (1-p’)/(1-p)*OR

Kennt man also die Wahrscheinlichkeiten des Auftretens der untersuchten Sache in beiden Gruppen, im Nenner jene der Kontrollgruppe, dann lassen sich RR und OR eins-zu-eins ineinander umrechnen. Im obigen Beispiel trat unzureichender Impfschutz mit den Wahrscheinlichkeiten 7/91 = 0,077 = 7,7 % und 51/85 = 0,6 = 60 % auf. Die Umrechnung müsste also so geschehen:

RR = (1-0,6)/(1-0,077)*OR

RR = 0,43*OR

Tatsächlich ist auch 7,8 = 0,43*18,1 (mit leichten Rundungsfehlern). Der Knackpunkt ist, dass eine Umrechnung von OR zu RR oder umgekehrt ohne Kenntnis der Wahrscheinlichkeiten nicht möglich gewesen wäre. Für Umrechnungen von OR zu anderen Effektstärken geht es auch ohne weitere Informationen.

Eine nützliche Faustregel lässt sich aus der Formel zur Umrechnung noch herleiten. Sind die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die untersuchte Sache in der Bevölkerung auftritt sehr gering (also p und p’ klein gegen 1 bzw. 100 %), dann gilt in guter Näherung RR = OR. Erst wenn in mindestens einer Gruppe hohe Prävalenzen zu sehen sind, unterscheiden sich RR und OR deutlich. RR = OR gilt auch in guter Näherung, wenn die beiden Wahrscheinlichkeiten zwar nicht klein gegen 100 % sind, aber einen ähnlichen Wert besitzen (also p ungefähr p’). In all diesen Fällen darf man RR und OR als austauschbar betrachten.

* Unzureichender Impfschutz bedeutet hier: Keine erkennbare Neutralisierung bei Zugabe des Virus oder Neutralisierung des Virus nur bis zu einer 1:50 Verdünnung des Bluts (und keiner erfolgreichen Neutralisierung bei weiterer Verdünnung des Bluts)