Wohin kommt man, wenn man im Weltall stur in eine Richtung weiterfliegt? Die intuitive und naheliegendste Antwort lautet: Immer weiter weg. Dass dem nicht unbedingt so sein muss, sieht man schon am Beispiel Erde. Läuft man immer in einer Richtung weiter, konzeptuell unwichtige Hürden wie Meere und Berge mal vernachlässigt, so kommt man nach langer Zeit wieder zum Ausgangspunkt zurück. Und das unabhängig davon, in welche Richtung man sich bewegt. Gefordert ist hier nur, dass die einmal gewählte Richtung beibehalten wird.
Aus der dreimensionalen Perspektive ist das leicht einzusehen. Die Bewegung findet, da strikt gebunden an die Oberfläche, in einem zweidimensionalen Raum statt. Dieser Raum ist endlich, unbegrenzt und geschlossen. Endlich da nur eine endliche Fläche besteht, unbegrenzt da die Fortbewegung nie an eine Grenze stößt und geschlossen da man bei Bewegung in fixer Richtung immer zum Ausgangspunkt zurückkehren wird. Diese Eigenschaften gelten nicht für beliebige zweidimensionale Räume. Eine endlose Platte wäre unendlich, unbegrenzt und offen. Die Eigenschaften werden dem Raum durch die Art der Einbettung in die dritte Dimension verliehen: Die Erdoberfläche lässt sich denken als ein zweidimensionaler Raum, der die Oberfläche eines kugelförmigen dreidimensionalen Raums bildet.
Es ist verlockend, zu jeder genannten Dimension stur “plus Eins” zu rechnen, um ein Analog für die möglichen Konfigurationen unseres dreidimensionalen Raums zu bekommen. Davor macht es aber Sinn darüber nachzudenken, wie zweidimensionale Lebewesen (ohne Möglichkeit des Blicks in die dritte Dimension) experimentell entscheiden könnten, ob sie auf einer endlosen Platte oder einer Kugeloberfläche leben. Die Antwort lautet: Krümmung messen. In einem krümmungsfreien Raum summieren sich die Winkel in beliebigen Dreiecken stets zu 180°. In sphärisch gekrümmten Räumen ist die Winkelsumme hingegen größer als 180°. So lässt sich zum Beispiel auf der Erdoberfläche leicht ein Dreieck mit Winkelsumme 270° (drei rechte Winkel) abstecken: Vom Nordpol runter zum Äquator, ein Stück den Äquator entlang und wieder zurück zum Nordpol. Es bildet sich ein Dreieck mit jeweils drei 90°-Richtungswechsel. In einem krümmungsfreien zweidimensionalen Raum wäre dies nicht möglich.
Unterscheiden müsste man auch zwischen lokaler und globaler Krümmung. Die zweidimensionale Platte, auf die jene Lebewesen beschränkt sind, könnte “Beulen” aufweisen. Kleine Bereiche, in denen lokal eine von Null verschiedene Krümmung gemessen werden kann. Über die globale Krümmung des Raums sagen solche lokalen Abweichungen natürlich nur wenig aus. Um sich sicher sein zu können, die Topologie ihres Universums richtig zu verstehen, müssten diese Lebewesen große Dreiecke abstecken. Idealerweise solche, die den gesamten beobachtbaren Raum abdecken.
Die gute Nachricht ist, dass im dreidimensionalen Raum diesselben Spielregeln gelten: Besteht keine Krümmung in eine vierte Dimension, dann summieren sich die Winkel im Dreieck zu 180°. Physiker haben schon fleißige Vorarbeit geleistet und Dreiecke vermessen, die einen weiten Teil des beobachtbaren Universums abdecken. Der Konsens, der sich daraus ergeben hat, lautet: Unser Universum ist global flach. Die lokalen Krümmungen, von denen es viele gibt, addieren sich nicht zu einer globalen Krümmung. Wir können uns also ziemlich sicher sein, dass wir nicht in einem dreidimensionalen Raum leben, der die Oberfläche einer vierdimensionalen Kugel bildet. Zumindest sofern man davon ausgeht, dass der beobachtbare Teil des Universums tatsächlich auch viel des gesamten Universums ausmacht. Das wäre aber wieder eine andere Frage. Für den Moment soll hingenommen werden, dass dem so ist, und wir in einem global flachen dreidimensionalen Raum leben.
Heißt das zwingend, dass die intuitive Antwort korrekt war? Wenn man stur in eine Richtung weiterfliegt, wird man sich einfach nur weiter und weiter vom Ausgangspunkt entfernen? Kein Zurückkommen, wie es auf der Erdoberfläche der Fall ist? Viele alte Astronomie-Bücher geben hier die Antwort: Ja. Dort findet man häufig den Grundsatz, dass ein global flaches Universum unendlich und offen sein muss. Glücklicherweise hat die Topologie da noch ein Wort mitzureden.
Es gibt Räume, die global flach und gleichzeitig endlich, unbegrenzt und geschlossen sind. Ein solcher Raum ist zum Beispiel der 3-Torus. Es handelt sich hierbei um einen dreidimensionalen Raum, der die Oberfläche eines vierdimensionalen Torus bildet. Um das etwas greifbarer zu machen, lohnt es sich erstmal den 2-Torus zu betrachten, der, wenig überraschend, ein zweidimensionaler Raum ist, der die Oberfläche eines dreidimensionalen Torus bildet. Googelt man den Begriff Torus, dann bekommt man die Form eines “Donuts” vorgesetzt, was dem Torus tatsächlich sehr nahe kommt, sich aber in einem zentralen Punkt davon unterscheidet. Man sollte diese Donut-Form verstehen als eine aufgerollte Form des Torus, nicht als den Torus selbst. Entsprechend ist die Oberfläche dieses Donuts eine aufgerollte Variante des 2-Torus. Diese Unterscheidung ist wichtig, weil sie die Krümmung des Raumes berührt. Die Aufrollung zum Zwecke der Visualisierung zeigt eine Krümmung, die im Raum selbst nicht besteht.
Eine Vorstellung, die der wahren Natur des 2-Torus viel näher kommt, bekommt man mit dem schicken gedanklichen Hilfsmittel Teleportation. Der 2-Torus ist ein glattes Stück Papier, bei welchem man am linken Rand wieder herauskommt, wenn man in den rechten Rand hineinfliegt. Und hinten wieder herauskommt, wenn man vorne hineinfliegt. Es ist dann leicht einzusehen, dass dieser Raum global flach, endlich und trotzdem unbegrenzt sowie wundervoll geschlossen ist. Aber auch diese Visualisierung hat schwerwiegende Probleme: Ein realer 2-Torus hat keine Seiten, in die man hineinfliegen könnte. Um dieses Problem zu beheben, könnte man sich nun die jeweiligen Seiten (links / rechts, vorne / hinten) gleichzeitig aneinandergeklebt denken, womit man zur Donut-Form kommen würde. Hier ist dieser Prozess als gif zu sehen. Damit würde man dem Raum aber wieder eine Krümmung zufügen, die gar nicht besteht. Ich finde es am einfachsten beim Hilfsmittel Teleportation zu bleiben, mit dem Zusatz, dass die Seiten, die hier vorhanden sind, nur dem Verständnis dienen und im Raum selbst nicht existieren.
Den 3-Torus kann man sich entsprechend als ein Zimmer vorstellen, in welchem man in an der linken Wand wieder herauskommt, wenn man in die rechte Wand fliegt. Hinten wieder herauskommt, wenn man vorne hineinfliegt. Und oben wieder herauskommt, wenn man unten hineinfliegt. Mit dem Zusatz, dass all diese Wände nur gedankliche Hilfsmittel sind um die Eigenschaften des Raumes begreifbar zu machen. Alternativ darf man sich auch vorstellen, dass all die Seiten des Zimmers (links / rechts, vorne / hinten, oben/unten) gleichzeitig zusammengeklebt sind und somit die Oberfläche eines vierdimensionalen Donut bilden. Das lässt sich auch sehr gut als gif darstellen.
Aber natürlicher sollte man nie zu weit in bloße Theorie abdriften. Am Ende bleibt die zentrale Frage: Wenn wir tatsächlich in einem solchen 3-Torus leben würden, ließe sich das experimentell nachweisen? Vielleicht. Ein Folge davon wäre ein “Hall of Mirrors”-Effekt. Zurück zum obigen Raum mit seinen magischen Eigenschaften. Was würde man sehen, wenn man in einem solchen Raum sitzt und nach vorne schaut? Man würde sich selbst sehen, also den eigenen Rücken und Hinterkopf. Einige der Photonen, die vom Rücken reflektiert werden, fliegen direkt zu der gedanklich eingefügten Hinterwand, kommen vorne wieder raus und gelangen schlussendlich in die Augen. So sehen wir den eigenen Hinterkopf. Auch Photonen, die aufgrund ihres Flugwinkels nach dem ersten Durchqueren des Raumes nicht zu den Augen gelangen, können nach späteren Durchquerungen des Raums ins Auge fallen. Man sieht sich also mehrfach reflektiert, ins Unendliche hinein, mit abnehmender Schwäche.
Etwas größenwahnsinniger gedacht: In einem 3-Torus-Universum müsste man perfekte Duplikate von Strukturen an anderen Orten des Himmels finden können. Das wäre ein klarer experimenteller Nachweis. Tatsächlich läuft diese Suche schon und zwar unter dem esoterisch anmutenden Begriff “Kosmische Kristallographie”. Die Suche war bisher erfolglos, aber, und das ist ein wichtiger Zusatz, könnte auch erfolglos bleiben, selbst wenn wir in einem 3-Torus leben. Es gibt zwei gute Gründe, wieso die Abwesenheit solcher Duplikate einen 3-Torus nicht ausschließt.
Einmal das Offensichtliche: Lichtintensität. Die Duplikate sind weit entfernt, ein Duplikat der Milchstraße wäre mindestens einen Durchmesser des Universums entfernt, und ist das Licht entsprechend schwach. Hinzu kommt: Zeit. Es dauert eine Zeit, bis die oben beschriebenen Photonen vom Hinterkopf am Auge ankommen. Bei einem kleinen Raum oder einem großen Raum, der schon immer existiert, wäre das kein Problem. Aber wie wäre es bei einem großen Raum, der erst endliche Zeit existiert, wie es wohl für unser Universum der Fall ist? Dann könnten die Photonen sich noch auf dem Weg zum Auge befinden. Je nach Größe des Universums, tauchen die Duplikate vielleicht erst in einigen Milliarden Jahren auf.
Der Kern der Ausführung ist: Die Tatsache, dass sich bei Dreiecken, die den beobachtbaren Teil des Universums abdecken, stets eine Winkelsumme von 180° ergibt und der Raum somit global flach ist, bedeutet nicht zwingend, dass der Raum unendlich und offen ist. Dass man sich zwingend immer weiter vom Ausgangspunkt entfernt, wenn man in die gleiche Richtung weiterfliegt. Das ließe sich nur mit Kenntnis der Topologie des Raums beantworten: Ein endloser euklidischer Raum, ein 3-Torus oder noch etwas wilderes. Es gibt global flache Topologien, in welchen man nach langer Zeit tatsächlich wieder zum Ausgangspunkt zurückkehrt. In manchen sogar spiegelverkehrt.
Wer Zeit und Lust hat etwas tiefer in die Materie einzusteigen, dem kann ich “The Shape of Space” von Jeffrey Weeks empfehlen. Das Buch steht schon seit Jahren in meinem Schrank und ich hole es immer wieder gerne raus. Die Mathematik nimmt keinen sonderlich großen Raum in dem Buch ein. Es ist eine eher humane (trotzdem anspruchsvolle) Einführung in die Basics der Topologie und den möglichen Topologien des Universums. Gut erklärt und angemessen bebildert. Ich bekomme kein Geld wenn man da drauf klickt, ich empfehle es nur gerne.
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